Am 11. Novem­ber ist der boli­via­ni­sche Prä­si­dent Evo Mora­les nach anhal­ten­den Mas­sen­pro­tes­ten auf Druck des Mili­tärs zurück­ge­tre­ten. Einer der Gründe für die Pro­teste waren Vor­würfe über Betrü­ge­reien bei den im Okto­ber abge­hal­te­nen Wah­len, bei denen Mora­les den erfor­der­li­chen Abstand von 10 Pro­zent­punk­ten zum Gegen­kan­di­da­ten knapp erreichte.

Die Orga­ni­sa­tion Ame­ri­ka­ni­scher Staa­ten hatte dar­auf­hin eine Unter­su­chung ein­ge­lei­tet, die auf Basis der Wahl­er­geb­nisse und der zuge­hö­ri­gen Zeit­s­tem­pel zum Schluss kam, dass das Ergeb­nis sta­tis­tisch unwahr­schein­lich sei, und emp­fahl des­halb eine Neu­wahl.

Bemer­kens­wert war hier­bei die Ver­wen­dung sta­tis­ti­scher Ver­fah­ren zur Ent­schei­dungs­fin­dung – welch Gegen­satz zu unse­ren letz­ten Prä­si­dent­schafts­wah­len!

Die am 22. Mai 2016 statt­ge­fun­dene Stich­wahl zwi­schen Nor­bert Hofer und Alex­an­der van der Bel­len, wel­che Letz­te­rer mit etwa 30.000 Stim­men Vor­sprung gewann, wurde ja nach Ein­spruch der FPÖ vom Ver­fas­sungs­ge­richts­hof auf­ge­ho­ben. Die­ser hatte 11 Wahl­be­zirke iden­ti­fi­ziert, für wel­che nicht aus­ge­schlos­sen wer­den konnte, dass die darin abge­ge­be­nen Brief­wahl­stim­men mani­pu­liert wor­den waren. Der VfGH argu­men­tierte in sei­nem Erkennt­nis allein mit der prin­zi­pi­el­len Mög­lich­keit, dass der Wahl­aus­gang dadurch beein­flusst hätte sein kön­nen, ohne jedoch die vor­lie­gen­den Daten her­an­zu­zie­hen.

Der Sta­tis­ti­ker Erich Neu­wirth von der Uni­ver­si­tät Wien aber unter­suchte unter der Annahme eines über die Wahl­kreise durch­schnitt­lich kon­stan­ten Ver­hält­nis­ses von Urnen-​ zu Brief­wahl­stim­men, die soge­nann­ten Resi­duen, das heißt die Abwei­chun­gen der Daten vom zugrun­de­ge­leg­ten Modell. Bei even­tu­ell vor­lie­gen­den Mani­pu­la­tio­nen hät­ten sich diese Resi­duen in den bean­stan­de­ten Wahl­krei­sen in sta­tis­tisch signi­fi­kan­ter Weise, das heißt über die natür­li­chen zufäl­li­gen Schwan­kun­gen hin­aus, von denen in den rest­li­chen 106 Wahl­krei­sen unter­schei­den müs­sen.

Dies war aller­dings nicht im Gerings­ten der Fall. Zusätz­lich lässt sich über die Resi­duen die Wahr­schein­lich­keit dafür bestim­men, dass es trotz allem zu einer ergeb­nis­ver­än­dern­den Mani­pu­la­tion gekom­men wäre. Neu­wirth und Wal­ter Scha­cher­mayr bezif­fern diese in einem Arti­kel in der öster­rei­chi­schen Zeit­schrift für Sta­tis­tik mit 1 zu 7,56 Mil­li­ar­den, also etwa einem Tau­sends­tel der Chance auf einen Lot­to­sech­ser.

In einer unab­hän­gi­gen, auch resi­du­en­ba­sier­ten Ana­lyse kam Wal­ter Mebane, Sta­tis­tik­pro­fes­sor an der Uni­ver­sity of Michi­gan, zu ähn­li­chen, in der „Washing­ton Post“ der brei­ten Öffent­lich­keit vor­ge­leg­ten Schluss­fol­ge­run­gen. Warum wur­den diese har­ten Fak­ten vom Ver­fas­sungs­ge­richts­hof nicht berück­sich­tigt, ja womög­lich gar nicht in Erwä­gung gezo­gen? Dar­über kann nur gemut­maßt wer­den, denn Indi­zien mit Wahr­schein­lich­keits­an­ga­ben wer­den ja in ande­ren Ver­fah­ren durch­aus benutzt, man denke nur an DNA-​Vergleiche.

Aber schon 2016 haben ich im „Stan­dard“ und Neu­wirth und Scha­cher­mayr im „Fal­ter“ fest­ge­stellt, dass mög­li­cher­weise in der Höchst­rich­ter­schaft, aber auch in der Bevöl­ke­rung im All­ge­mei­nen, das Bewusst­sein für sta­tis­ti­sche Fra­ge­stel­lun­gen kaum vor­han­den ist. Dabei wird die „sta­tis­ti­cal liter­acy“ – also die Daten-​Alphabetisierung – häu­fig als Schlüs­sel­kom­pe­tenz des 21. Jahr­hun­derts genannt. Und nur wer Daten lesen und ver­ste­hen kann, wird in einer Welt der Daten Ver­trauen in die Demo­kra­tie haben. Diese Kolumne besteht auch in der Hoff­nung, zur Ver­brei­tung die­ser „data liter­acy“ bei­zu­tra­gen.

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Auf der Web­seite https://neu­wal.com/wahl­um­fra­gen wer­den Ergeb­nisse von Wahl­um­fra­gen in Öster­reich doku­men­tiert. In den letz­ten 25 unab­hän­gi­gen Wahl­um­fra­gen vor der Natio­nal­rats­wahl 2017 lag die ÖVP, damals noch Juni­or­part­ner der SPÖ in der Regie­rung, mit ihrem Anteil kon­stant zwi­schen 32 und 34 Pro­zent (siehe 1. Abbil­dung).

Wäh­rend die­ser Umstand in der brei­ten Öffent­lich­keit wohl so wahr­ge­nom­men wird, dass sich in der Gesamt­be­völ­ke­rung in die­sem Zeit­raum offen­bar nichts getan hat, schril­len bei Sach­kun­di­gen die Alarm­glo­cken. Denn auch wenn sich in der Popu­la­tion abso­lut nichts ändert, unter­lie­gen selbst nach den Regeln der Survey-​Statistik durch­ge­führte Erhe­bun­gen einer natür­li­chen Stich­pro­ben­schwan­kung. Durch die Zufäl­lig­keit der Aus­wahl der Stich­pro­ben­ele­mente lässt sich dann aber die Unge­nau­ig­keit der Resul­tate auf Basis der Wahr­schein­lich­keits­theo­rie bestim­men.

Geht man vom Ide­al­fall im Hin­blick auf die Genau­ig­keit aus, also davon, dass es sich um 25 unab­hän­gige ein­fa­che Zufalls­stich­pro­ben ohne Non­re­sponse gehan­delt hat (denn sonst könn­ten die Ergeb­nisse womög­lich noch stär­ker streuen), dann kann z. B. bei ange­nom­me­nen kon­stan­ten 33 Bevöl­ke­rungs­pro­zen­ten die Wahr­schein­lich­keit dafür bestimmt wer­den, dass trotz der Stich­pro­ben­schwan­kung zufäl­lig diese kon­stan­ten Ergeb­nisse von gerun­de­ten 32 bis 34 Pro­zent für die ÖVP zu Stande gekom­men sind. Dies besitzt eine Wahr­schein­lich­keit von 0,00000411. Das bedeu­tet, dass eine sol­che Kon­stanz von 25 Umfra­gen durch Zufall im Schnitt nur jedes 1 : 0,00000411 ≈ 240.000-​ste Mal pas­sie­ren wird. So unwahr­schein­lich ist es selbst unter Ide­al­be­din­gun­gen, dass 25 unab­hän­gige Stich­pro­ben für eine Par­tei immer 32 bis 34 Pro­zent erge­ben, wenn der Popu­la­ti­ons­wert 33 Pro­zent beträgt!

Ein belie­bi­ger zufäl­li­ger Ver­lauf, der sich an die Gesetz­mä­ßig­kei­ten der Wahr­schein­lich­keits­theo­rie hält, wäre zum Ver­gleich etwa jener in der 2. Abbil­dung. Sehen Sie den Unter­schied zu den ver­öf­fent­lich­ten Wahl­um­fra­gen?

Wieso glei­chen sich die berich­te­ten Umfra­ge­er­geb­nisse also so stark, wenn es äußerst unwahr­schein­lich ist, dass sie es zufäl­lig tun? Sind diese Umfra­gen womög­lich gar keine Umfra­gen, son­dern „Unfra­gen“?  

Trin­ken Sie gerne Tee? In unse­ren Brei­ten sel­ten mit Milch, oder? Aber wenn doch, dann Milch zuerst in die Tasse oder umge­kehrt? Sie den­ken, das macht kei­nen Unter­schied? Auch der junge Ronald Fisher (spä­ter zum Säu­len­hei­li­gen der Sta­tis­tik avan­ciert) dachte das, als er Muriel Bris­tol einst eine frisch auf­ge­gos­sene Tasse Tee anbot und diese mit dem Hin­weis ablehnte, es schme­cke ihr bes­ser, wenn die Milch zuvor hin­zu­ge­fügt würde. Dies geschah an einem Nach­mit­tag in den frü­hen 1920er Jah­ren an der Agrar­for­schungs­sta­tion in Rot­hamsted, an der die bei­den beschäf­tigt waren. Der genaue Tag ist nicht bekannt, aber die Uhr­zeit war 16.00 Uhr, zur in Rot­hamsted ritu­ell ein­ge­hal­te­nen Tee­pause.

Die Algen­for­sche­rin Bris­tol wird Ihnen mög­li­cher­weise unbe­kannt sein, aber als „The Lady Tas­ting Tea“ ist sie durch diese Tee­pause in die Wis­sen­schafts­ge­schichte ein­ge­gan­gen. Fisher näm­lich, der ihre Behaup­tung, sie könne unter­schei­den, ob der Tee oder die Milch zuerst in die Tasse gegos­sen wurde, nicht glau­ben wollte, ent­schloss sich, diese mit einem Expe­ri­ment zu über­prü­fen. Die­ser Ver­such, wel­chen Fisher spä­ter in sei­nem berühm­ten, 1935 erschie­ne­nen Buch „The Design of Expe­ri­ments“ beschreibt, gilt als der Geburts­mo­ment der sta­tis­ti­schen Ver­suchs­pla­nung und quasi als Vor­bild für die Stan­dard­vor­ge­hens­weise in allen expe­ri­men­tel­len Wis­sen­schaf­ten.

Was war Fishers bahn­bre­chen­der Vor­schlag? Er ließ vier Tas­sen zuerst mit Tee (T) und vier Tas­sen zuerst mit Milch (M) fül­len und prä­sen­tierte diese Dr. Bris­tol in zufäl­li­ger Rei­hen­folge. Nur wenn Bris­tol in der Lage wäre, alle davon kor­rekt zu iden­ti­fi­zie­ren, würde er ihr die behaup­tete Fer­tig­keit zuge­ste­hen. Was auf den ers­ten Blick wie ein unspek­ta­ku­lä­rer Vor­schlag aus­sieht, berei­tete die Grund­lage für in der Sta­tis­tik nun­mehr unbe­strit­tene Ver­suchs­prin­zi­pien wie Ran­do­mi­sie­rung, Repli­ka­tion sowie Balance und führte gleich neben­her das exakte sta­tis­ti­sche Tes­ten ein. In sei­nem bril­lan­ten, nur neun Sei­ten lan­gen und 1956 erschie­ne­nen Arti­kel „Mathe­ma­tics of a Lady Tas­ting Tea“ erklärt Fisher ein­leuch­tend (und ohne Ver­wen­dung von For­meln), wel­che Abwei­chun­gen von sei­ner Ver­suchs­an­ord­nung wel­che nega­ti­ven Kon­se­quen­zen hät­ten.

Haupt­säch­lich ging es dabei natür­lich darum, mög­lichst aus­zu­schlie­ßen, dass Dr. Bris­tol ein­fach durch Raten zum rich­ti­gen Ergeb­nis gelangte. Nun, bei jeweils vier Tas­sen kön­nen sich ver­schie­dene zufäl­lige Anord­nun­gen erge­ben. Die Wahr­schein­lich­keit, bei die­sem Ver­such durch pures Raten immer Recht zu haben, beträgt daher etwa 1,4 %, was für Fisher aus­rei­chend unwahr­schein­lich wäre, um als zufäl­lig zu gel­ten (die bekannte 5%-​Signifikanzhürde geht auch auf ihn zurück).

Man bemerke, dass hier­mit nicht nur der Per­mu­ta­ti­ons­test, son­dern auch der soge­nannte p-​Wert ein­ge­führt wurde, Kon­zepte, wel­che heute in den expe­ri­men­tel­len Anwen­dun­gen ent­schei­dende Bedeu­tung haben, ins­be­son­dere zum Bei­spiel bei kli­ni­schen Tests von Medi­ka­men­ten oder Behand­lungs­ver­fah­ren.

Ob Frau Bris­tol den Test bestan­den hat, ist übri­gens nicht ganz geklärt. Herr Fisher ver­liert in sei­nen Schrif­ten kein Wort dar­über, Zeu­gen der berühm­ten Tee­pause sind eher auf Bris­tols Seite.

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Neh­men wir mal an, Sie wol­len Ihr Finanz­amt bei Ihrer Steu­er­erklä­rung betrü­gen. Nicht, dass wir das von Ihnen ver­mu­ten wür­den, aber wenn doch, dann soll­ten Sie beim Aus­fül­len der For­mu­lare mit irgend­wel­chen Fan­ta­sie­zah­len vor­sich­tig sein. Ver­wen­den Sie dabei näm­lich, was viele als nahe­lie­gend und ver­nünf­tig anneh­men, alle Zif­fern gleich­mä­ßig, so las­sen sich Ihre nume­ri­schen Anga­ben rela­tiv ein­fach als Fäl­schun­gen iden­ti­fi­zie­ren. Das kommt von einem erstaun­li­chen Umstand, wel­cher in der Sta­tis­tik nach sei­nen Ent­de­ckern (New­comb)- Benford-​Gesetz genannt wird und zur Folge hat, dass etwa Zah­len mit füh­ren­den Ein­sen in vie­len Zusam­men­hän­gen öfter vor­kom­men als sol­che mit füh­ren­den Zweien, mit füh­ren­den Zweien wie­derum öfter als mit füh­ren­den Dreien und so fort. Genauer gesagt tritt nach die­sem Gesetz eine Zahl mit Zif­fer z an ers­ter Stelle mit einer zu erwar­ten­den Häu­fig­keit log10(1+1/z) auf. Die Eins tritt dem­nach in etwa 30 % aller Fälle auf, die Zwei in ca. 18 % und so wei­ter. (vgl. etwa: https://de.wiki­pe­dia.org/wiki/Ben­ford­sches_­Ge­setz)

Für das Auf­tre­ten die­ser spe­zi­el­len Ver­tei­lung las­sen sich vie­ler­lei Erklä­run­gen fin­den. Am ein­gän­gigs­ten ist viel­leicht jene über einen gleich­mä­ßi­gen Wachs­tums­pro­zess. Pflan­zen Sie etwa einen ein Meter hohen Baum, wel­cher monat­lich im Schnitt mit einem kon­stan­ten Fak­tor, sagen wir 1 %, wächst, dann dau­ert es 70 Monate, bis die­ser Baum zwei Meter hoch ist, wei­tere 41 Monate, bis er drei Meter misst und so wei­ter. Bei einer Höhe von neun Metern dau­ert es nur noch elf Monate bis zur Höhe von zehn Metern und dann steht wie­der eine Eins am Anfang und der Pro­zess setzt sich fort. Natür­lich wach­sen Bäume, in der Rea­li­tät nicht gleich­mä­ßig und schon gar nicht unbe­schränkt, aber betrach­tet man eine grö­ßere Anzahl unter­schied­lich alter Bäume spielt dies keine Rolle. Andere Bei­spiele für Benford-​verteilte Zah­len sind Haus­num­mern oder Bevöl­ke­rungs­grö­ßen. Das Phä­no­men ist aller­dings nicht auf spe­zi­fi­sche Daten­sätze beschränkt.

Machen Sie selbst einen Ver­such: Neh­men Sie eine grö­ßere Kol­lek­tion von Daten aus Ihrem Umfeld, z. B. Ihren For­schun­gen, die nicht zu klein ist und bei wel­cher der Daten­be­reich nicht auf eine bestimmte Zahl von Stel­len beschränkt ist, ord­nen Sie die Werte nach der füh­ren­den Zif­fer und zäh­len Sie: Sie wer­den stau­nen (oder jetzt viel­leicht nicht mehr).

Das Benford-​Gesetz lässt sich übri­gens auf wei­tere Stel­len der unter­such­ten Zah­len erwei­tern, aller­dings mit abneh­men­der Ungleich­mä­ßig­keit. Die letz­ten Zif­fern soll­ten, wie man sich leicht über­le­gen kann, mit jeweils glei­cher, also je 10 % Häu­fig­keit auf­tre­ten.

Das Fäl­schen einer Steu­er­erklä­rung erfor­dert also wesent­lich mehr sta­tis­ti­sches Know-​how, als man ver­mu­ten möchte. Von 100 ein­zu­tra­gen­den Zah­len soll­ten rund 30 mit einer Eins, rund 18 mit einer Zwei, und so fort begin­nen. Aber auch die zwei­ten Stel­len soll­ten sich nach den ent­spre­chen­den Regeln für die zwei­ten Zif­fern rich­ten. Und die drit­ten gege­be­nen­falls nach jenen für die drit­ten … In der Pra­xis wer­den Ver­let­zun­gen der Ben­ford’schen Ver­tei­lung übri­gens nicht nur zum Auf­de­cken von Wirt­schafts­kri­mi­na­li­tät, son­dern auch etwa von Gen­ano­ma­li­tä­ten oder Wahl­be­trug ver­wen­det.

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Das EU-​Sommerzeit-Nichtreferendum

2017 war eines der drei wärms­ten Jahre, der April 2018 der wärmste, der dar­auf fol­gende Mai der hei­ßeste seit Mess­be­ginn – ein Rekord jagt den ande­ren.

Know your sta­tus, but know your pro­ba­bi­lity too!
 

Wie gelingt es Pro­zent­zah­len, dass die Grenze zwi­schen Fak­ten und Fake News ver­schwimmt?